A对称,故存在正交阵Q和对角阵D使得A=QDQ'.
A^2=A得到A的特征值只能是0和1.
R(A)=r得到D恰有r和对角元为1,其余为0.
(1)A+I=Q(D+I)Q'是对称矩阵,特征值为1和2,故正定.
(2)利用A^2=A得I+A+...+A^k=I+kA=Q(I+kD)Q',相似变换不改变行列式,只要算det(I+kD)即可.I+kD的特征值是r和1+k和n-r个1,所以答案是(1+k)^r.
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