如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数 的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C的坐标为（3,0）,连结BC． （1）求证：△ABC是等边三角形；（2）点P在线段BC的延长线上,连结AP,作AP的垂直平分线,垂足为点D,并与y轴交于点D,分别连结EA、EP．①若CP＝6,直接写出∠AEP的度数；②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合）,∠AEP的度数是否变化?若变化,请说明理由；若不变,求出∠ADP的度数；（3）在（2）的条件下,若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动,速度为每秒1个单位长度． EC与AP于点F,设△AEF的面积为S1,△CFP的面积为S2,y＝S1－S2,运动时间为t（t>0）秒时,求y关于t的函数关系式．
如图 在平面直角坐标系xoy中,一次函数y=√3x+3√3的图像与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C的坐标为（3、0）,连接BC.
（1）求证：△ABC是等边三角形；
一次函数y=√3x+3√3与x轴的交点的横坐标即y=0时的x值
√3x+3√3=0
所以,x=-3
则点A(-3,0)
一次函数与y轴的交点的纵坐标即x=0时候的y值
所以,y=√3*0+3√3=3√3
所以,点B(0,3√3)
已知点C(3,0)
所以,AC=|-3-3|=6
由勾股定理得到：BC^2=BO^2+OC^2=(3√3)^2+3^2=27+9=36
所以,BC=6
同理,AB=6
所以,△ABC是边长为6的等边三角形.
（2）点P在线段BC的延长线上,连接AP,AP的垂直平分线交y轴于点E,分别连接EA、EC、EP.
①若CP=6,直接写出∠AEP的度数；
∠AEP=120°
②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合）,∠AEP的度数是否变化?若变化,请说明理由；若不变,求出∠AEP的度数；
设线段AP的垂直平分线为EG,点G就是AP中点
连接OG
因为点O为AC中点
所以,OG为△APC的中位线
所以,OG//PC
所以,∠GOC=∠BCO=60°
因为∠AOE=90°,∠AGE=90°
所以,点A、O、G、E都在以AE为直径的圆上（图中蓝色圆）
则,∠GOC=∠AEG=60°
已知EG为AP垂直平分线
所以,EA=EP
而,EG⊥AP
所以,EG为∠AEP的角平分线
所以,∠AEP=2∠AEG=2*120°=120°
即说明,无论点P在BC的延长线上怎么运动,∠AEP始终等于120°
（3）在（2）的条件下,若点P从C出发在BC的延长线上匀速运动,速度为每秒1个单位长度,EC与AP于点F,设△AEF的面积为S1,△CFP的面积为S2,y=S1－S2,运动时间为t（t＞0)秒时,求y关于t的函数关系式.
设△AFC的面积为S
过点P做x轴垂线,垂足为H
设运动时间为t,则CP=t
已知△ABC为等边三角形,所以：∠PCH=∠BCA=60°
所以,CH=t/2,PH=(√3t)/2
那么,点P的坐标为P(3+(t/2),-(√3t/2))
即：P((t+6)/2,(-√3t)/2)
已知点A(-3,0)
所以,由两点间距离公式有：PA^2=[(t+6)/2+3]^2+[(-√3t)/2-0]^2=[(t+12)/2]^2+(3t^2/4)
=(t^2+24t+144)/4+(3t^2/4)
=t^2+6t+36
所以,AG=PA/2=√(t^2+6t+36)/2
而在Rt△AGE中,由前面知∠AEG=60°
所以,AE=AG/(√3/2)=√[(t^2+6t+36)/3]
所以,AE^2=(t^2+6t+36)/3
又,在Rt△AOE中由勾股定理得到：OE^2=AE^2-A0^2
=(t^2+6t+36)/3-9
=(t^2+6t+9)/3
所以,OE=√[(t^2+6t+9)/3]
那么,△ACE的面积=(1/2)*AC*OE=(1/2)*6*√[(t^2+6t+9)/3]
=√(3t^3+18t+27)=△ACF面积+△AEF面积
即：S+S1=√(3t^2+18t+27)………………………………（1）
而,△ACP的面积=(1/2)*AC*PH=(1/2)*6*(√3t/2)
=3√3t/2=△ACF面积+△PCF面积
即：S+S2=(3√3t)/2………………………………………（2）
(1)-(2)得到：
y=S1-S2=√(3t^2+18t+27)-(3√3t)/2（t＞0）
