已知数列{a n }满足a n+1 =-a n 2 +2a n （n∈N * ），且0＜a 1 ＜1．
1个回答
（1）证明：①当n=1时，由条件知，成立
②假设n=k成立，即0＜a k＜1成立，
当n=k+1时，a k+1=-a k 2+2a k=-（a k-1） 2+1，
∵0＜a K＜1
∴0＜（a k-1） 2＜1
∴0＜-（a k-1） 2+1＜1
∴0＜a K+1＜1
这就是说，当=k+1时，0＜a k＜1也成立．
根据①②知，对任意n∈N*，不等式0＜a n＜1恒成立．
（2）1-a n+1=（1-a n） 2，0＜a n＜1；
lg（1-a n+1）=lg（1-a n） 2，，即lg（1-a n+1）=2lg（1-a n）
即：b n+1=2b n
∴{b n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列．
∴b n=-2 n-1，∴
1
b n = -
1
2 n-1
无究数列{
1
b n }所有项的和为：
1
b 1 +
1
b 2 +…+
1
b n +… =
lim
n→∞ （
1
b 1 +
1
b 2 +…+
1
b n ）=
lim
n→∞ [（-1）×
1- (
1
2 ) n
1-
1
2 ]=-2×
lim
n→∞ （ 1-(
1
2 ) n ）=-2
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