已知数列{a n }满足a 1 =1，且a n =2a n-1 +2 n （≥2，且n∈N * ）
1个回答
（1）证明：∵a n=2a n-1+2 n（≥2，且n∈N *）
∴
a n
2 n =
a n-1
2 n-1 +1
∴
a n
2 n -
a n-1
2 n-1 =1
∴数列{
a n
2 n }是以
1
2 为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得
a n
2 n =
1
2 +(n-1)•1=n-
1
2
∴a n= (n-
1
2 )• 2 n ；
（3）∵S n=
1
2 • 2 1 +
3
2 • 2 2 +…+ (n-
1
2 )• 2 n
∴2S n=
1
2 • 2 2 +
3
2 • 2 3 +…+ (n-
1
2 )• 2 n+1
两式相减可得-S n=1+2 2+2 3+…+2 n- (n-
1
2 )• 2 n+1 =（3-2n）•2 n-3
∴S n=（2n-3）•2 n+3＞（2n-3）•2 n
∴
S n
2 n ＞2n-3 ．
相关问题
