（2014•燕山区一模）如图，点C是以AB为直径的 - 已解决

（2014•燕山区一模）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过点B的切线相交于点D，D点E是BD的中点，直线

（2014•燕山区一模）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过点B的切线相交于点D，D点E是BD的中点，直线CE交直线AB与点．求证：

（1）CF是⊙O的切线；

（2）若ED=[3/2]，tanF=[3/4]，求⊙O的半径．

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解题思路：（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD=90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以∴OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；

（2）CE=BE=DE=[3/2]，在Rt△BFE中，利用正切的定义得tanF=[BE/BF]=[3/4]，可计算出BF=2，再利用勾股定理可计算出EF=[5/2]，所以CF=CE+EF=4，然后在Rt△OCF中，利用正切定义可计算出OC．

（1）证明：连CB、OC，如图，

∵BD为⊙O的切线，

∴DB⊥AB，

∴∠ABD=90°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCD=90°，

∵E为BD的中点，

∴CE=BE，

∴∠BCE=∠CBE，

而∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切线；

（2）CE=BE=DE=[3/2]，

在Rt△BFE中，tanF=[BE/BF]=[3/4]，

∴BF=2，

∴EF=

BE2+BF2=[5/2]，

∴CF=CE+EF=4，

在Rt△OCF中，tanF=[OC/CF]=[3/4]，

∴OC=3，

即⊙O的半径为3．

点评：

本题考点：切线的判定；勾股定理．

考点点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理．

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