（2013•辽宁一模）已知函数f（x）=ax2-x（a∈R，a≠0），g（x）=lnx
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解题思路：（1）由题意求出y=f（x）-g（x）的解析式，进而求出定义域，再求出导函数并整理，对a进行分类：a＞0时和a＜0时，分别求出y′＞0和y′＜0对应的x的范围，即求出函数的单调区间；
（2）先由f（x）=g（x）分离a，即求出a的表达式，再构造函数k（x）=
lnx+x
x
2
，再求导判断单调性以及最值和特殊函数值的符号，可得到函数图象的大致形状，再求出满足条件的a的范围．
（1）由题意设y=f（x）-g（x）=ax2-x-lnx，（a≠0，x＞0），
∴y′=2ax-1-[1/x]=
2ax2−x−1
x，
①当a＞0时，令y′＞0得，2ax2-x-1＞0，解得x＞
1+
1+8a
4a，
令y′＜0得，2ax2-x-1＜0，解得0＜x＜
1+
1+8a
4a，
②当a＜0时，令h（x）=2ax2-x-1，则对称轴x=[1/4a]＜0，且h（0）=-1，
∴x＞0时，有y′＜0，
综上所述：a＞0时，在（0，
1+
1+8a
4a）上递减，在（
1+
1+8a
4a，+∞）上递增，
a＜0时，在（0，+∞）上递减．
（2）由f（x）=g（x）得，ax2-x=lnx（a≠0，x＞0），即a=[lnx+x
x2
令k（x）=
lnx+x
x2，则k′（x）=
(
1/x+1)x2−2x(lnx+x)
x4]=
1−x−2lnx
x3，
当0＜x＜1时，1-x-2lnx＞0，即k′（x）＞0，
∴k（x）在（0，1）上单调递增，且k（e-1）=
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系．
考点点评： 本题考查了导数与函数的单调性关系，以及两个函数图象的交点问题转化为求单调性和最值等综合应用，考查了分类讨论思想、转化思想和分离常数方法．
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