已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,＋∞).
4个回答

f(x)=(x²+2x+a)/x

=x+(a/x)+2

x∈[1,＋∞).

(1)当a=1/2时,f(x)=x+1/(2x)+2

此函数是对钩函数,在(0,√2/2]递减,在[√2/2,+∞)递增,

∵x∈[1,＋∞).

∴f(x)min=f(1)=1+1/2+2=7/2

(2)对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立,则

f(x)=(x²+2x+a)/x

=x+(a/x)+2

分类讨论：

若a＞0,则对任意x∈[1,＋∞).x+a/x＞0,所以f(x)＞0恒成立

若a=0,则f(x)=x+2,对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立

若a＜0,则x和a/x在区间[1,+∞)同为增函数,即f(x)是增函数,此时只要f(1)=1+a+2＞0,即a＞-3,即可使得f(x)>0恒成立

综上所述,a的取值范围是(-3,+∞)

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