如图，正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别CC 1 、DD 1
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①∵正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1；
∴CD⊥平面ADD 1A 1；
又E、F、G分别CC 1、DD 1、AA 1中点．
∴EF
∥
.
. CD
∥
.
. AB⇒E，F，A，B四点共面，且EF⊥平面ADD 1A 1，
所以EF⊥A 1F （1）；
而GF=
1
2 AA 1，所以三角形AA 1F为直角三角形且A 1F⊥AF （2）
且AF∩EF=F⇒A 1F⊥面AEF；
又由上得E，F，A，B四点共面
∴A 1F⊥面BEF；
②∵GA=
1
2 AA 1，C 1E=
1
2 CC 1；
∴GA
∥
.
. C 1E，所以四边形GAEC 1为平行四边形，⇒GC 1∥ AE
又因为GC 1不在平面BEF内，又由上得E，F，A，B四点共面
而AE在平面BEF内；
∴GC 1∥ 面BEF；
③∵A 1F⊥面BEF
∴∠A 1BF即为直线A 1B与面BEF所成的角，
在直角三角形A 1BF中
A 1B=
AB 2 + AA 1 2 =
5 ，A 1F=
AG 2 + GF 2 =
2 ，
∴sin∠A 1BF=
A 1 F
A 1 B =
2
5 =
10
5 ⇒∠A 1BF=arcsin
10
5 ．
即直线A 1B与面BEF所成的角为arcsin
10
5 ．
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