如图,∠MON=60度,点A,B分别是射线OM,ON上的动点（都不于点O重合）且AB=4√3.在△AOB的外部,∠MON
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这道题的原题是2012年沈阳24题,

.(1) 过点P作PQ⊥AB于点Q ∵PA=PB,∠APB=120° AB=4

∴AQ= AB= ×4 =2 ∠APQ= ∠APB= ×120°=60°在Rt△AP Q中,sin∠APQ= ∴AP= =sin60°＝4

（2） 过点P分别作PS⊥OM于点S,PT⊥ON于点T∴∠OSP=∠OTP=90° 在四边形OSPT中,∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°

∴∠APB=∠SPT=120° ∴∠APS=∠BPT

又∵∠ASP=∠BTP=90° AP=BP

∴△APS≌△BPT ∴PS=PT

∴点P在∠MON的平分线上

（3） ①8+4 ②4+4 ＜t≤8+4

假如A与O重合,则OP有最小值为4,当AB⊥OP时,OP最大.

中点四边形的周长是2（OP+AB）.

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