已知函数f(x)＝alnx−12x2+12(a∈R且a≠0)．
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解题思路：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f（x）的单调区间；

（Ⅱ）对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0，即使得对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）max≤0，因此求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．求导函数可得f′(x)＝ax−x＝−x2+ax．…（2分）当a＜0时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．所以f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．…（3分）当a＞0时，令f'（x）=0得x＝a或x＝...

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，合理分类，属于中档题．

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