已知函数f（x）=[lnx/x]

（1）求曲线在 p（1，0）处的切线方程

（2）求函数的单调区间

（3）证明f（x）≤[x−1/x]在定义域内恒成立．（　　）

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解题思路：（1）欲求在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

（2）先求出函数的定义域，求出导函数，令导函数小于0以及导数大于0，求出x的范围，写出区间即为单调区间；

（3）利用分析法，要证f（x）≤[x−1/x]在定义域内恒成立，只需证lnx-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立，研究函数g（x）=lnx-x+1（x＞0）的单调性可证得结论．

（1）f′(x)＝

1−lnx

x2，k＝f′(1)＝1，

所以切线方程为y-0=（x-1），即x-y-1=0…（4分）

（2）易知x＞0，由f'（x）＞0得0＜x＜e，所以f（x）递增区间：（0，e）…（6分）

f'（x）＜0得x＞e，递减区间：（e，+∞） …（8分）

（3）要证f（x）≤[x−1/x]在定义域内恒成立

只需证xf（x）-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立，

只需证lnx-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立，

令g（x）=lnx-x+1（x＞0），由g'（x）=[1/x]-1=0得x=1．

则在x=1处有极大值（也是最大值）g（1）=0 …（13分）

∴lnx-x+1≤0

∴f（x）≤[x−1/x]在（0，+∞）上恒成立．

点评：

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．

考点点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，利用导数研究函数的单调性，以及利用分析法进行证明不等式，属于中档题．

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