（2009•保定二模）如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=12，点P从点A出发沿AC边向点C以每秒1

（2009•保定二模）如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=12，点P从点A出发沿AC边向点C以每秒1个单位的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒1个单位的速度移动，点P、Q同时出发，设移动时间为t秒（t＞0）．

（1）求t为何值时，PQ∥AB；

（2）设△PCQ的面积为y，求y与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△PCQ的面积最大，最大面积是多少；

（3）设点C关于直线PQ的对称点为D，求t为何值时，四边形PCQD是正方形；

（4）当得到正方形PCQD后，点P不再沿AC边移动，但正方形PCQD沿CB边向B点以每秒1个单位的速度移动，当点Q与点B重合时，停止移动，设运动中的正方形为MNQD，正方形MNQD与Rt△ABC重合部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

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解题思路：（1）利用PQ∥AB，得出[PC/AC]=[CQ/CB]，进而求出t的值即可；

（2）利用y=[1/2]PC×CQ得出关于t的二次函数的解析式，进而求出最值即可；

（3）利用当PC=CQ时，t=3，△PCQ是等腰直角三角形，进而得出当t=3时，将△PCQ翻折得到的四边形PCQD是正方形；

（4）根据当t=6时，当6＜t≤9时，点D在Rt△ABC的外部，点M在Rt△ABC的内部，以及当9＜t≤12，点D，M都在Rt△ABC的外部分别求出即可．

（1）由题意得出：CQ=t，PC=6-t，

∵PQ∥AB，

∴[PC/AC]=[CQ/CB]，

∴[6−t/6]=[t/12]，

∴t=4，

（2）∵y=[1/2]PC×CQ=-[1/2]t2+3t=-[1/2]（t-3）2+[9/2]；

当t=3时，△PCQ的面积最大，最大面积为：[9/2]；

（3）∵当PC=CQ时，t=3，△PCQ是等腰直角三角形，

∴当t=3时，将△PCQ翻折得到的四边形PCQD是正方形；

（4）①如图1，由已知条件易知：当t=6时，正方形MNQD的顶点D到达斜边AB的中点，

∴当3≤t≤6时，正方形MNQD在Rt△ABC的内部，此时s=9；

②如图2，当6＜t≤9时，点D在Rt△ABC的外部，点M在Rt△ABC的内部，设正方形MNQD与

AB的两个交点分别是E，F，则BQ=12-t，

由题意得出：DQ∥AC，

∴[FQ/AC]=[QB/BC]，

∴[FQ/BQ]=[1/2]，

∴FQ=6-[1/2]t，

DF=3-FQ=[1/2]t-3，

而由题意得出：DE=t-6，

∴S=9-[1/2]DE×DF=-[1/4]t2+3t；

③如图3，当9＜t≤12，

点D，M都在Rt△ABC的外部，设正方形MNQD与AB的两个交点为：E，F．

由题意得出：

BQ=12-t，

∴QE=[1/2]（12-t），

∵BN=BQ+NQ=15-t，

∴FN=[1/2]（15-t），

∴S=[1/2]（QE+FN）×3=-[3/2]t+[81/4]．

点评：

本题考点： 翻折变换（折叠问题）；二次函数的性质；直角三角形的性质；正方形的性质；平行线分线段成比例．

考点点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质，利用分类讨论思想进行分析即可得出答案是解题关键．

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