已知函数f(x)=ln(x+1)-x.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若x>-1,证明:
1−
1
x+1
≤ln(x+1)≤x
.
解题思路:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).f'(x)=-[x/x+1],由此能求出函数f(x)的单调递减区间.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,故ln(x+1)-x≤0,ln(x+1)≤x.令
g(x)=ln(x+1)+
1
x+1
−1
,则
g′(x)=
1
x+1
−
1
(x+1)
2
=
x
(x+1)
2
.由此能够证明当x>-1时,
1−
1
x+1
≤ln(x+1)≤x
.
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).
f'(x)=[1/x+1]-1=-[x/x+1]…(2分)
由f'(x)<0及x>-1,得x>0.
∴当x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,
即f(x)的单调递减区间为(0,+∞).…4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,
当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,
当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,
因此,当x>-1时,f(x)≤f(0),
即ln(x+1)-x≤0,
∴ln(x+1)≤x.…(6分)
令g(x)=ln(x+1)+
1
x+1−1,
则g′(x)=
1
x+1−
1
(x+1)2=
x
(x+1)2.…(8分)
∴当x∈(-1,0)时,g'(x)<0,
当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0.…10
∴当x>-1时,g(x)≥g(0),
即 ln(x+1)+
1
x+1−1≥0,
∴ln(x+1)≥1−
1
x+1.
综上可知,当x>-1时,
有1−
1
x+1≤ln(x+1)≤x.…(12分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;对数函数的定义域;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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