已知函数f(x)=ln(x+1)-x.
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解题思路:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).f'(x)=-[x/x+1],由此能求出函数f(x)的单调递减区间.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,故ln(x+1)-x≤0,ln(x+1)≤x.令

g(x)=ln(x+1)+

1

x+1

−1

,则

g′(x)=

1

x+1

1

(x+1)

2

=

x

(x+1)

2

.由此能够证明当x>-1时,

1−

1

x+1

≤ln(x+1)≤x

(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).

f'(x)=[1/x+1]-1=-[x/x+1]…(2分)

由f'(x)<0及x>-1,得x>0.

∴当x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,

即f(x)的单调递减区间为(0,+∞).…4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,

当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,

当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,

因此,当x>-1时,f(x)≤f(0),

即ln(x+1)-x≤0,

∴ln(x+1)≤x.…(6分)

令g(x)=ln(x+1)+

1

x+1−1,

则g′(x)=

1

x+1−

1

(x+1)2=

x

(x+1)2.…(8分)

∴当x∈(-1,0)时,g'(x)<0,

当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0.…10

∴当x>-1时,g(x)≥g(0),

即 ln(x+1)+

1

x+1−1≥0,

∴ln(x+1)≥1−

1

x+1.

综上可知,当x>-1时,

有1−

1

x+1≤ln(x+1)≤x.…(12分)

点评:

本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;对数函数的定义域;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.