已知函数f（x）=ax+[a/x]-3ln x．

（1）当a=2时，求f（x）的最小值；

（2）若f（x）在[1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．

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解题思路：（1）当a=2时，f（x）=2x+2x-3lnx，求导得f'（x）=2-2x2-3x=2x2−3x−2x2，因为定义域为开区间，求得极值即为最值．（2）先求f'（x）=ax2−3x−ax2，再由“f（x）在[1，e]上为单调函数”转化为“f'（x）≥0或f'（x）≤0在[1，e]上恒成立”，最后转化为最值法求解．

（1）当a=2时，f（x）=2x+[2/x]-3lnx

f'（x）=2-[2

x2-

3/x]=

2x2−3x−2

令f'（x）=0得x=2或-[1/2]（∵x＞0，舍去负值）

∴当a=2时，函数f（x）的最小值为5-3ln2．（6分）

（2）∵f'（x）=

ax2−3x−a

x2，

令h（x）=ax²-3x-a=a（x-[3/2a]）²-

9+4a2

4a，

要使f（x）在[1，e]上为单调函数，

只需f'（x）在（1，e）内满足：f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立，且等号只在孤立点取得．

∵h（1）=-3＜0

∴h（e）=ae²-3e-a≤0

∴a≤[3e

e2−1

①当0≤a≤

e2−1时，f'（x）≤0恒成立

②当a＜0时，x=

3/2a]∉[1，e]，

∴h（x）＜0（x∈[1，e]）

∴f'（x）＜0，符合题意．

综上可知，当a≤

e2−1时，f（x）在[1，e]上为单调函数．（14分）

点评：

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．

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