已知函数f（x）=ln(1+x)x．
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解题思路：（1）利用导数求出f（x）的单调区间，求出f（x）的最大值，即可证出；
（2）构造函数h（x）=ln（1+x）-x-px2，则只要h（x）＞0恒成立．即h（x）的最小值大于0，求出p的最大值．
（Ⅰ）函数f(x)＝
ln(1+x)
x的导函数为f/(x)＝
x
1+x−ln(1+x)
x2，
在[0，+∞）上考虑函数g(x)＝
x
1+x−ln(1+x)，由g/(x)＝
1
(1+x)2−
1
1+x≤0，
可知g（x）单调递减，结合g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜0，所以，f′（x）＜0，f(x)＝
ln(1+x)
x在（0，+∞）单调递减．
∵f（1）=ln2，∴若x≥1，则 f（x）≤ln2．
（Ⅱ） 要使得对任意x＞0，f（x）＞1+px即
ln(1+x)
x＞1+px恒成立，首先由熟知的不等式ln（1+x）＜x知p＜0
令h（x）=ln（1+x）-x-px2，则只要h（x）＞0恒成立．
以下在[0，+∞）上考虑h（x）.h/(x)＝
1
1+x−1−2px＝
−2px(x+
2p+1
2p)
1+x．
这里p＜0，故若2p+1＞0，则在区间(0，−
2p+1
2p)内，h′（x）＜0，h（x）单调递减，但h（0）=0，所以在区间(0，−
2p+1
2p)内，h（x）＜0，这与题意不符；
反之，若2p+1≤0，则当x＞0时恒有h′（x）＞0，h（x）单调递增，但h（0）=0，所以对任意x＞0，h（x）＞0，也就是
ln(1+x)
x＞1+px恒成立．
综上所述，使得对任意x＞0，f（x）＞1+px恒成立的最大的p＝−
1
2．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题利用导数求函数的单调区间，进而求出最大值，来证明不等式，运用了等价转化，化归，构造函数思想，求参数的取值范围，一道导数的综合题．属于中档题．
