三重积分∫∫∫zdv,其中Ω是有曲面积分z=√(2-x²-y²)和z=x²+y²

三重积分∫∫∫zdv,其中Ω是有曲面积分z=√(2-x²-y²)和z=x²+y².

∫∫∫zdv,其中Ω是有曲面积分z=√(2-x²-y²)和z=x²+y²

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因为抛物面z = x² + y²是开口向上的,最低点是(0,0,0)

而z = √(2 - x² - y²)是上半球体,顶点(0,0,√2)

所以√(2 - x² - y²) ≥ x² + y²

√(2 - r²) ≥ r² ==> 0 ≤ r ≤ 1

∫∫∫Ω z dV

= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(r²→√(2 - r²)) z dz

——————————————————————————————————————

用切片法也行：

z = √(2 - x² - y²) ==> Dz[2]面积：π(2 - z²),1 ≤ z ≤ √2

z = x² + y² ==> Dz[1]面积：πz,0 ≤ z ≤ 1

∫∫∫Ω z dV

= ∫(0→1) z dz ∫∫Dz[1] dxdy + ∫(1→√2) z dz ∫∫Dz[2] dxdy

= ∫(0→1) z * πz dz + ∫(1→√2) z * π(2 - z²) dz

如果反过来的话,那可能是下半球体z = - √(2 - x² - y²)

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