三重积分∫∫∫zdv,其中Ω是有曲面积分z=√(2-x²-y²)和z=x²+y²
1个回答
因为抛物面z = x² + y²是开口向上的,最低点是(0,0,0)
而z = √(2 - x² - y²)是上半球体,顶点(0,0,√2)
所以√(2 - x² - y²) ≥ x² + y²
√(2 - r²) ≥ r² ==> 0 ≤ r ≤ 1
∫∫∫Ω z dV
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(r²→√(2 - r²)) z dz
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用切片法也行：
z = √(2 - x² - y²) ==> Dz[2]面积：π(2 - z²),1 ≤ z ≤ √2
z = x² + y² ==> Dz[1]面积：πz,0 ≤ z ≤ 1
∫∫∫Ω z dV
= ∫(0→1) z dz ∫∫Dz[1] dxdy + ∫(1→√2) z dz ∫∫Dz[2] dxdy
= ∫(0→1) z * πz dz + ∫(1→√2) z * π(2 - z²) dz
如果反过来的话,那可能是下半球体z = - √(2 - x² - y²)
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