计算三重积分∫∫∫zdv,其中Ω由z=-√(x^2+y^2)与z=-1围成的闭区域
1个回答

{ z = - √(x² + y²)

{ z = - 1

- 1 = - √(x² + y²)

x² + y² = 1 --> r = 1

切片法：

∫∫∫ z dV

= ∫(- 1→0) z dz ∫∫Dz dxdy

= ∫(- 1→0) z * πz² dz

= ∫(- 1→0) πz³ dz

= (π/4)(z⁴)：[- 1→0]

= π/4 * 0 - π/4 * (- 1)⁴

= - π/4

投影法：

∫∫∫ z dV

= ∫(0→2π) ∫(0→1) ∫(- 1→r) rz dzdrdθ

= 2π∫(0→1) r * z²/2：[- 1→r] dr

= 2π∫(0→1) r/2 * (r² - 1) dr

= π∫(0→1) (r³ - r) dr

= π(r⁴/4 - r²/2)：[0→1]

= - π/4

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