已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号3/2,AB分别为椭圆的长轴和短轴的端点,
1个回答
解题思路：（1）根据离心率
，
，建立方程组，求得椭圆的基本量，从而可得椭圆的方程；（2）设交点
，分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去
，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论。
(1)设椭圆的半焦距为c
则有：
a²=b²+c²
a²+b²=5
c/a=√3/2
解得：
a=2
b=1
c=√3
所以椭圆的方程为：(x²/4)+y²=1
(2)
【方法一】
设交点P（x1,y1）,Q（x2,y2）
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1
则S=√3/2
当直线l的斜率存在时
设其方程为y=k(x+1)（k≠0）,联立椭圆方程：(x²/4)+y²=1
得：(4k²+1)x²+8k²x+4(k²-1)=0
两个根为x1,x2
x1+x2=-8k²/(4k²+1)
x1•x2=4(k²-1)/(4k²+1)
则|PQ|=[√(1+k²)]|x1-x2|=[√(1+k²)] ×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]（k≠0）
又原点到直线l的距离d=|k|/(1+k²)
所以
S=(1/2)|PQ|•d
=(1/2)√(1+k²)×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]×[|k|/(1+k²)]
=2√(3k²+1)k²/(4k²+1 ) （k≠0）
=2√(3k^4+k²)/(16k^4+8k²+1)
=2√[3/16-(8k²+3)/16(16k^4+8k²+1)]
＜2•√3/4
=√3/2
所以,当直线l的方程为x=-1时,△POQ面积最大；
做第二问的基本思路就是将直线方程与椭圆方程联立,消去y
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程
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