已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对于定义域内任意的x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），且当f（x），x＞1
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解题思路：（1）令x=y=1，根据函数f（x）（x∈R，且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），我们易构造关于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）．
（2）任取0＜x1＜x2，则
x
2
x
1
＞1
，当x＞1时，f（x）＜0恒成立，故f（
x
2
x
1
）＜0，由此能证明f（x）在（0，+∞）是减函数．
（3）由（2）知函数f（x）在其定义域内是减函数，故当x∈[1，+∞）时，
x
2
+2x+a
x
＞1
恒成立，由此能求出a的范围．
（1）∵定义在（0，+∞）上的函数f（x），
对于定义域内任意的x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．
（2）证明：任取0＜x1＜x2，则
x2
x1＞1，
∵当x＞1时，f（x）＜0恒成立，
∴f（
x2
x1）＜0，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1•
x2
x1）=f（x1）-f（x1）-f（
x2
x1）=-f（
x2
x1）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）是减函数．
（3）由（2）知函数f（x）在其定义域内是减函数，
当x∈[1，+∞）时，不等式f（
x2+2x+a
x）＜f（1）恒成立，
即
x2+2x+a
x＞1恒成立，
∵x≥1时，-x2-x=-（x+[1/2]）2+[1/4]≤-2，
∴a＞-2．
故a的范围是（-2，+∞）．
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．
考点点评： 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中（1）的关键是“凑配”思想的应用，（2）的关键是定义法的应用，（3）的关键是等价转化思想的应用．
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