填空或解答:点B、C、E在同一直线上,点A、D在直线CE的同侧,AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,直线AE、BD交于点F.
(1)如图①,若∠BAC=60°,则∠AFB= ___ ;如图②,若∠BAC=90°,则∠AFB= ___ ;
(2)如图③,若∠BAC=α,则∠AFB= ___ (用含α的式子表示);
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合),得图④或图⑤.在图④中,∠AFB与∠α的数量关系是∠AFB=90°
-
1
2
α
;在图⑤中,∠AFB与∠α的数量关系是 ___ .请你任选其中一个结论证明.
解题思路:(1)由题意易得△ABC∽△EDC,进一步证得△BCD∽△ACE,进而可得∠AFB=∠CBD+∠AEC=∠CAE+∠AEC=∠ACB=60°,同理可得,∠AFB的大小;
(2)同(1)的证明可得;
(3)图四,由前面步骤可得∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB=90°
−
1
2
α
;图5,与前面步骤相同,可求得∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED,代入数据求大小.
(1)∵AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED=60°,
∴△ABC∽△EDC,
∴∠CBD=∠CAE,
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD
=180°-∠BAC-∠ABC
=∠ACB,
∴∠AFB=60°,
同理可得:∠AFB=45°;
(2)∵AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,
∴△ABC∽△EDC,
∴∠ACB=∠ECD,[BC/DC=
AC
EC],
∴∠BCD=∠ACE,
∴△BCD∽△ACE,
∴∠CBD=∠CAE,
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD,
=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB,
∵AB=AC,∠BAC=α,
∴∠ACB=90°-[1/2α,
∴∠AFB=90°-
1
2α.
故答案为:∠AFB=90°-
1
2α.
(3)图4中:∠AFB=90°-
1
2α;
图5中:∠AFB=90°+
1
2α.
∠AFB=90°-
1
2α的证明如下:
∵AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,
∴△ABC∽△EDC,
∴∠ACB=∠ECD,
BC
DC=
AC
EC],
∴∠BCD=∠ACE,
∴△BCD∽△ACE,
∴∠CBD=∠CAE,
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD,
=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB,
∵AB=AC,∠BAC=α,
∴∠ACB=90°-[1/2α,
∴∠AFB=90°-
1
2α.
∠AFB=90°+
1
2α的证明如下:
∵AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,
∴△ABC∽△EDC,
∴∠ACB=∠ECD,
BC
DC=
AC
EC],
∴∠BCD=∠ACE,
∴△BCD∽△ACE,
∴∠BDC=∠AEC,
∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF,
=∠CDE+∠CED=180°-∠DCE,
∵AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠DEC=α,
∴∠DCE=90°-
1
2α,
∴∠AFB=180°-(90°-
1
2α)=90°+
1
2α.
点评:
本题考点: 旋转的性质;三角形内角和定理;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 根据图形旋转的变化规律,探究两个角之间的数量关系.
本题突出考查从特殊与一般的数学思想和实验研究的能力,让学生经历了动手操作、观察猜想、合情推理、归纳证明等全过程.
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