平行于四面体A－BCD的对棱AB、CD的平面依次交AC、BC、BD、AD于E、F、G、H.求证：
当E、F、G、H分别是AC、BC、BD、AD的中点时,EFGH的面积最大.
证明：
∵AB∥面EFGH,而EF是面ABFE和面EFGH的交线,∴AB∥EF.
同理有：EH∥CD、FG∥CD、HG∥AB.
令AE＝xAC,其中0＜x＜1.
∵EH∥CD,∴EH/CD＝AE/AC＝AH/AD＝x,∴EH＝xCD、AH＝xAD.
∵AB∥EF,∴BF/BC＝AE/AC＝x,∴BF＝xBC.
∵FG∥CD,∴FG/CD＝BF/BC＝x,∴FG＝xCD.
∵AB∥EF,∴EF/AB＝CF/BC＝（BC－BF）/BC＝（BC－xBC）/BC＝1－x,
∴EF＝（1－x）AB.
∵HG∥AB,∴HG/AB＝DH/AD＝（AD－AH）/AD＝（AD－xAD）/AD＝1－x,
∴HG＝（1－x）AB.
由EH＝xCD、FG＝xCD,得：EH＝FG＝xCD.
由EF＝（1－x）AB、HG＝（1－x）AB,得：EF＝HG＝（1－x）AB.
∴EFGH是平行四边形.
很明显,当EFGH平移时,始终有：EH∥CD,EF∥AB,∴∠FEH的值为AB、CD所成的角,
∴∠FEH为定值.
∴EFGH的面积＝EH×EF×sin∠FEH＝xCD×（1－x）AB×sin∠FEH
＝x（1－x）CD×ABsin∠FEH＝［1/4－（x^2－x＋1/4）］CD×ABsin∠FEH
＝［1/4－（x－1/2）^2］CD×ABsin∠FEH.
对于给定四面体A－BCD来说,CD、AB都是定值.
∴当x－1/2,即x＝1/2时,EFGH的面积最大.
由x＝1/2,容易得到：E、F、G、H依次为AC、BC、BD、AD的中点.
∴当E、F、G、H依次为AC、BC、BD、AD的中点时,EFGH的面积最大.
