求一阶微分方程(x^2)y′+xy=y^2的通解,
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解法一：设t=y/x,则y=xt,y'=xt'+t
代入原方程得xt'+t+t=t²
==>xt'=t²-2t
==>dt/(t²-2t)=dx/x
==>[1/(t-2)-1/t]dt=2dx/x
==>ln│t-2│-ln│t│=2ln│x│+ln│-C│ (C是积分常数)
==>(t-2)/t=-Cx²
==>-2/t=-Cx²-1
==>t=2/(1+Cx²)
==>y/x=2/(1+Cx²)
==>y=2x/(1+Cx²)
故原微分方程的通解是y=2x/(1+Cx²) (C是积分常数).
解法二：设t=1/y,则y=1/t,y'=-t'/t²
代入原方程得-x²t'/t²+x/t=1/t²
==>t'=t/x-1/x².(1)
∵齐次方程t'=t/x的通解是t=Cx (C是积分常数)
∴设微分方程(1)的解为t=C(x)x (C(x)表示关于x的函数)
∵t'=C'(x)x+C(x)
代入(1)得C'(x)x+C(x)=C(x)-1/x²
==>C'(x)x=-1/x²
==>C'(x)=-1/x³
==>C(x)=1/(2x²)+C (C是积分常数)
==>t=[1/(2x²)+C]x=1/(2x)+Cx=(1+Cx²)/(2x)
∴微分方程(1)的通解是t=(1+Cx²)/(2x) (C是积分常数)
==>1/y=(1+Cx²)/(2x)
==>y=2x/(1+Cx²)
故原微分方程的通解是y=2x/(1+Cx²) (C是积分常数).
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