中值定理问题,有两个中值设函数放f(x),g(x)在区间[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=f(1)=1.
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证明：

记F(x)=[e^x]f(x),g(x); h(x)=e^x,g(x),知两两函数在[0,1]上满足柯西中值定理条件

分别应用柯西中值定理知

存在ζ∈(0,1),

使得

[F(1)-F(0)]/[g(1)-g(0)]=F'(ζ)/g'(ζ)

即[e-1]/[g(1)-g(0)]=[f(ζ)+f'(ζ)](e^ζ)/g'(ζ).(1)

存在η∈(0,1),

使得

[h(1)-h(0)]/[g(1)-g(0)]=h'(η)/g'(η)

即[e-1]/[g(1)-g(0)]=(e^η)/g'(η).(2)

由(1)(2)得[f(ζ)+f'(ζ)](e^ζ)/g'(ζ)=(e^η)/g'(η)整理即得证.

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