求2道数列题,设数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的正整数n都有Sn=2an-5n设bn=an+5,求证数列{bn}
2个回答
第一题
S(n)=2a(n)-5n
S(n+1)=2a(n+1)-5n-5
因此
a(n+1)=S(n+1)-S(n)=2a(n+1)-2a(n)-5
得
a(n+1)=2a(n)+5
a(n+1)+5=2[a(n)+5]
因此a(n)+5是等比数列q=2
由S(n)=2a(n)-5n
a(1)=2a(1)-5
a(1)=5
因此
a(n)+5=5*2^(n-1)
a(n)=5*2^(n-1)-5
下面是求和n*a(n)
n*a(n)=5(n*2^n-n)
分成两部分求和
第一部分n*2^n
S(n)=1*2+2*2^2+...+n*2^n
2*S(n)=1*2^2+2*2^3+...+n*2^(n+1)
那么S(n)=2S(n)-S(n)
=n*2^(n+1)-(2+2^2+2^3+.+2^n)
=n*2^(n+1)-2^(n+1)-2
再求和n
这个前n项和=n*(n+1)/2
综上所述
T(n)=5(n-1)*2^(n+1)-10-5n(n+1)/2
下面第二题
这个等比数列一看就可以看出q=1/3 a(1)=1
因此a(n)=(1/3)^(n-1)
所以b(n)=1-n
T(n)=n-n(n+1)/2=n(1-n)/2
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