设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn＝4+an1−an(n∈N*)．
4个回答
解题思路：（I）由an=5Sn+1，能推导出
a
n
＝(−
1
4
)
n
，再由
b
n
＝
4+
a
n
1−
a
n
(n∈
N
*
)
，能求出数列{bn}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
b
n
＝4+
5
(−4
)
n
−1
，故
c
n
＝
5
b
n
−4
−(−4
)
n
−1
，由此能求出数列{cn}的前n项和为Tn．
（I）∵an=5Sn+1，
∴当n=1时，a1=5a1+1，
∴a1＝−
1
4，
当n≥2时，an=5Sn+1，an-1=5Sn-1+1，
两式相减，an-an-1=5an，即an＝−
1
4an−1，
∴数列{an}成等比数列，其首项a1＝−
1
4an-1，
∴数列{an}成等比数列，其首项a1=-[1/4]，公比是q=-[1/4]，
∴an＝(−
1
4)n，
∴bn＝
4+(−
1
4)n
1−(−
1
4)n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn＝4+
5
(−4)n−1，
bn−4＝
5
(−4)n−1，
∴cn＝
5
bn−4−(−4)n−1，
∴Tn＝
−4[(1−(−4)n]
1−(−4)−n
=[4/5(−4)n−n−
4
5]．
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列的递推公式的应用，解题时要认真审题，注意迭代法和等价转化思想的合理运用．
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