正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O是AC与BD的交点,E为BB1的中点.
(Ⅰ)求证:直线B1D∥平面AEC;
(Ⅱ)求证:B1D⊥平面D1AC;
(Ⅲ)求三棱锥D-D1OC的体积.
解题思路:(1)利用三角形的中位线性质,线面平行的判定定理.
(2)利用线面垂直的判定定理证明AC⊥面BDB1,从而证明AC⊥B1D,同理可证B1D⊥AD1,进而可证;
(3)等体积法求三棱锥的体积,三棱锥D-D1OC与三棱锥D1-DOC的体积相等,D1-DOC的高是D1D的长,面积等于底面正方形面积的[1/4],体积可求.
(Ⅰ)连接OE,在△B1BD中,
∵E为BB1的中点,O为BD的中点,
∴OE∥B1D
又∵B1D⊄平面AEC
∴直线B1D∥平面AEC.(4分)
(Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵B1B⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD
∴B1B⊥AC.∵BD⊥AC
且BB1∩BD=B
∴B1D⊥AC
∴AC⊥B1D
同理可证B1D⊥AD1
∵AC∩AD1=A
∴B1D⊥平面D1AC.(9分)
(Ⅲ)VD−D1OC=VD1−DOC=
1
3•DD1•S△DOC=
1
3×2×1=
2
3.(14分)
点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
考点点评: 本题考查线面平行、垂直的判定方法.
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