正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B1E=[1/2]． &
1个回答
解题思路：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明B1D⊥平面D1AC．
（2）求出平面AEC的法向量，利用向量法能求出直线D1O与平面AEC所成角的正弦值．
（1）证明：
以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
B1（2，2，2），D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），
DB1=（2，2，2），
AD1=（-2，0，2），
AC=（-2，2，0），
∵
DB1•
AD1=0，
DB1•
AC=0，
∴B1D⊥AD1，BD1⊥AC，
又AD1∩AC=A，
∴B1D⊥平面D1AC．
（2）∵O（1，1，0），E（2，2，
3
2），
∴
OD1=（-1，-1，2），
AE=（0，2，[3/2]），
设平面AEC的法向量
n=（x，y，z），则
n•
AE＝2y+
3
2z＝0
n•
AC＝−2x+2y＝0，取z=4，得
n=（3，3，4），
设直线D1O与平面AEC所成角的为θ，
sinθ=|cos＜
n，
D1O＞|=|
−3−3+8
34•
6|=
51
51．
∴直线D1O与平面AEC所成角的正弦值为
51
51．
点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
相关问题
