如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平
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（Ⅰ）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC的中点，
所以DE∥A1B，…（3分）
又DE?平面ADC1，A1B?平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．…（5分）
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），…（6分）
AC=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，…（7分）
设平面ADC1的法向量
m=（x，y，z）．
∵
AD=（1，1，0），
AC1=（0，2，4），
∴
x+y＝0
2y+4z＝0．
取z=1，得y=-2，x=2
∴平面ADC1的法向量
m=（2，-2，1），…（9分）
平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，
∴|cosθ|=|[?4/2×3]|=[2/3]．…（11分）
从而sinθ=
5
3，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为
5
3…（13分）
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