（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．
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解题思路：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；
（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=[π/4]，可得b=-2p-2mp，即可得出结论．
（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，
∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，-2p），
∴三角形ABO是Rt△，
∴过A，B，O三点的圆方程是：（x-2p）2+y2=4p2；
（Ⅱ）设点A(
y21
2p，y1)，B(
y22
2p，y2)，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，
由方程组
x＝my+b
y2＝2px消去x可得y2-2mpy-2pb=0，
故y1+y2=2mp，y1y2=-2pb，
这样，tan[π/4]=tan(α+β)＝
tanα+tanβ
1−tanαtanβ＝
y1
x1+
y2
x2
1−
y1y2
x1x2＝
x2y1+x1y2
x1x2−y1y2=
2p(y1+y2)
y1y2−4p2
即1=[2p•2mp
−2pb−4p2＝−
2mp/b+2p]，所以b=-2p-2mp，
∴直线AB的方程可以写成为：x=my-2p-2mp，即x+2p=m（y-2p），
∴直线AB过定点（-2p，2p）．
点评：
本题考点： 抛物线的简单性质．
考点点评： 本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．
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