已知函数
f(x)=ax+
1
x
2
(x≠0,常数a∈R)
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
解题思路:(1)先判断函数的定义域关于原点对称,再利用奇偶函数的定义,注意对参数进行讨论;
(2)函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,可转化为导函数大于等于0在x∈[3,+∞)上恒成立,从而可解.
(1)函数的定义域关于原点对称,f(−x)=−ax+
1
x2
①当a=0时,函数为偶函数;
②当a≠0时,函数非奇非偶.
(2)f′(x)=a−
2
x3
∵函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数
∴f′(x)=a−
2
x3≥0 在x∈[3,+∞)上恒成立
∴a−
2
27≥0
∴a≥
2
27
点评:
本题考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的性质.
考点点评: 本题以函数为载体,考查函数的性质,考查恒成立问题,关键是掌握定义,利用导数解决恒成立问题.
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