已知函数f（x）=x2+[a/x]（x≠0，常数a∈R）．
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解题思路：（1）x2为偶函数，欲判函数f（x）=x2+[a/x]的奇偶性，只需判定[a/x]的奇偶性，讨论a判定就可．
（2）处理函数的单调性问题通常采用定义法好用．
（1）当a=0时，f（x）=x2
对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x2+[a/x]（x≠0，常数a∈R），
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）．
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设2≤x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=x21+
a
x1−x22−
a
x2=
(x1−x2)
x1x2[x1x2（x1+x2）-a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，
必须f（x1）-f（x2）＜0恒成立．
∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．
又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x2）＞16，
∴a的取值范围是（-∞，16]．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
考点点评： 单调性的证明步骤：
取值（在定义域范围内任取两个变量，并规定出大小）
做差（即f（x1）-f（x2），并且到“积”时停止）
判号（判“积”的符号）
结论（回归题目）
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