（2013•凉山州二模）设函数f （x）=x3+3ax2-4（a∈R，x∈R），g（x）=-2ax2+x
1个回答
解题思路：（1）由题意知，f （x）在x=2处取得的极大值，即f′（2）=0，解出a即可；
（2）由于y=x3+ax2+x-4在R上有两个不同的极值点，则导函数满足△=4a2-12＞0，解出a的范围，
又由
3
g
2
(1)
f(1)+3
＝4a+
1
a
−4
，即可得到
3
g
2
(1)
f(1)+3
的取值范围；
（3）由于f2（x）-64f （x）=0，则f （x）=0或f （x）=±8，分a等于0，大于0，小于0三种情况来讨论函数f（x）的单调性，
进而依据函数的极值得到方程f2（x）-64f （x）=0，有且只有三个不同的实根时，实数a的取值范围．
（1）由于函数f（x）=x3+3ax2-4（a∈R，x∈R），
则f′（x）=3x2+6ax．
由于函数f （x）在（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）单凋递增，
则f （x）在x=2处取得的极大值，
故f′（2）=3×22+6a×2=0，解得a=-1；
（2）由于y=f （x）+g （x）=x3+3ax2-4-2ax2+x=x3+ax2+x-4，
则y′=3x2+2ax+1
由于函数y=f （x）+g （x）在R上有两个不同的极值点，
则△=4a2-12＞0，解得 a＜−
3或a＞
3．
又由
3g2(1)
f(1)+3＝
(1−2a)2
a＝4a+
1
a−4，若令h(a)＝4a+
1
a
则函数h（a）在区间（
3，+∞）上递增，在（-∞，−
3）上也递增，
故h(a)＜−
13
3
3或h(a)＞
13
3
3，
则
3g2(1)
f(1)+3
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．
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