如图,已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,直线CD与AB的延长线交与点D,∠COD=2∠DCB

如图,已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,直线CD与AB的延长线交与点D,∠COD=2∠DCB

1、求证CD是圆O 的切线

2、点E是弧AB的重点,CE交AB于点F,若AB等于4,求EF×EC的值

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（1）证明：∵∠COB=∠A+∠OCA（三角形外角定理）,

OA=OC,∴∠A=∠OCA,

∴∠COB=2∠OCA（等量代换）,

又已知,∠COB=2∠DCB,

∴∠OCA=∠DCB,

又AB是⊙O的直径,

∴∠OCA+∠BCO=90°,

∴∠DCB+∠BCO=90°（等量代换）,

即∠DCO=90°,

∴CD⊥OC,

∴CD是⊙O的切线．

（2）连接AE、BE,

∵AB是⊙O的直径,点E是AB弧的中点（已知）,

∴∠AEB=90°,AE=BE,

∴AE²+BE²=AB²（勾股定理）,

∴2BE²=4²,

∴BE2=8,

∵点E是AB弧的中点,

∴AE弧=BE弧,

∴∠EBF=∠ECB（相等弧所对的圆周角相等）,

∠FEB=∠BEC,

∴△BEF∽△CEB,

∴EF/BE=BE/EC,

∴EF•EC=BE²=8．

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