已知abcd都是实数,且a²+b²=r²,c²+d²=R²,
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证法一(综合法)：
∵a、b、c、d都是实数,
∴｜ac＋bd｜≤｜ac｜＋｜bd｜≤(a^2+c^2)/2+(b^2+d^2)/2=(a^2+c^2+b^2+d^2)/2
∵a^2＋b^2＝r^2,c^2＋d^2＝R^2,
∴｜ac＋bd｜≤(r^2+R^2)/2 .
证法二(比较法)：
显然｜ac＋bd｜≤(r^2+R^2)/2
-(r^2＋R^2)/2≤ac＋bd≤ (r^2＋R^2)/2
先证ac＋bd≤ (r^2＋R^2)/2.
ac＋bd－ (r^2＋R^2)/2
＝ac＋bd－(a^2+c^2+b^2+d^2)/2)
＝－〔(a－c)^2＋(b－d)^2〕/2≤0
∴ac＋bd≤ (r2＋R2)/2.
再证ac＋bd≥－ (r^2＋R^2)/2.
ac＋bd＋ (r^2＋R^2)/2
＝ac＋bd+ (a^2＋b^2＋c^2＋d^2)/2
＝ [(a＋c)^2＋(b＋d)^2]/2≥0,
∴ac＋bd≥－(r^2＋R^2)/2
综上述｜ac＋bd｜≤(r^2+R^2)/2
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