（2008•宝坻区一模）设直线l：y=x+1与椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相
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解题思路：（1）把直线l的方程与椭圆方程联立，利用△＞0即可得出；
（2）以AB为直径的圆过原点⇔OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0，再利用根与系数的关系，即可得出．
（1）∵直线l与椭圆相交，联立方程
y＝x+1
b2x2+a2y2＝a2b2
∴（a2+b2）x2+2a2x+a2-a2b2=0，
∵△＝4a4−4(a2+b2)a2(1−b2)＞0
∴a2−(a2+b2)(1−b2)＞0
∴b2（a2+b2）＞b2
∴a2+b2＞1，
（2）设F（-c，0），c2=a2-b2依题意c=1，则a2-b2=1，
设交点A（x1，y1），B（x2，y2）
由（1）知：△＞0得
x1+x2＝
−2a2
a2+b2
x1x2＝
a2(1−b2)
a2+b2，
以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，从而x1x2+y1y2=0
即2x1x2+（x1+x2）+1=0，
把韦达定理式代入
2a2(1−b2)
a
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
考点点评： 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及其根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质等是解题的关键．
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