已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2+bx (a≠0).
1个回答
解题思路：（1）h（x）的导数大于或等于0，得到b≤m（x）型的不等式，故应有：b小于或等于m（x）的最小值．
（2）换元，设t=ex，把函数φ（x）化为二次函数的形式，配方找出对称轴，分对称轴在区间内、在区间左侧、在区间右侧三种情况求出函数最小值．
（Ⅰ）由题设知：h（x）=lnx+x2-bx，且在（0，+∞）上是增函数，
∵h′(x)＝
1
x+2x−b
∴[1/x+2x−b≥0即b≤
1
x+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∵x＞0，有
1
x+2x≥2
2.∴b的取值范围为(−∞，2
2].（7分）
（Ⅱ）设t=ex，则函数化为φ（x）=F（t）=t2+bt，t∈[1，2]．∵F(t)＝(t+
b
2)2−
b2
4.
∴当−
b
2≤1即−2≤b≤2
2]时，F（t）在[1，2]上为增函数，[φ（x）]min=F（1）=b+1；
当1＜−
b
2＜2即-4＜b＜-2时，[φ(x)]min＝F(−
b
2)＝−
b2
4；
当−
b
2≥2即b≤-4时，F（t）在[1，2]上为减函数，[φ（x）]min=F（2）=2b+4；
∴[φ(x)]min＝
点评：
本题考点： 函数单调性的性质；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查函数单调性的应用，恒成立问题，注意分类讨论．
相关问题
