已知数列bn的首项b1=3/5,b(n+1)=3bn/(2(bn)+1)

已知数列bn的首项b1=3/5,b(n+1)=3bn/(2(bn)+1)

(1)求证数列｛(1/bn)-1｝为等比数列 (2)求数列｛1/bn｝的前n项和Sn

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1

∵b(n+1)=3bn/(2(bn)+1)

∴1/b(n+1)=(2bn+1)/(3bn)=2/3+1/(3bn)

∴[1/b(n+1)-1]/(1/bn-1)

=[2/3+1/(3bn)-1]/(1/bn-1)

=1/3*(1/bn-1)/(1/bn-1)

=1/3

∴数列｛1/bn-1｝为等比数列

公比为1/3

2

由1知：1/bn-1=(1/b1-1)*(1/3)^(n-1)=2/3^n

∴1/bn=1+2/3^n

∴{1/bn}的前n项和 (分组：前面是常数,后面等比）

Sn=n+2/3(1-1/3^n)/(1-1/3)=n+1-1/3^n

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