已知函数f(x)＝x+mx，且f（1）=2
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解题思路：（1）由已知中f（1）=2，代入可得m的值，进而求出函数的解析式，根据函数奇偶性的定义判断f（-x）与f（x）的关系，可得函数的奇偶性
（2）任取1＜x1＜x2，判断f（x2）与f（x1）的大小，进而根据函数单调性的定义，可得函数的单调性
（3）由（1）中所得函数的解析式，构造关于a的不等式，解不等式可得答案．
∵f(x)＝x+
m
x，且f（1）=2
∴1+m=2，解得 m=1…（1分）
（1）y=f（x）为奇函数，理由如下：…..（2分）
∵f(x)＝x+
1
x，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称…..（3分）
又f(−x)＝(−x)+
1
−x＝−(x+
1
x)＝−f(x)
所以y=f（x）为奇函数…（4分）
（2）f（x）在（1，+∞）上的单调递增，理由如下…..（5分）
设1＜x1＜x2，
则f(x2)−f(x1)＝x2+
1
x2−(x1+
1
x1)＝(x2−x1)(1−
1
x1x2)…（7分）
∵1＜x1＜x2
∴x2-x1＞0，1−
1
x1x2＞0
故f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），f（x）在（1，+∞）上的单调递增…（9分）
（3）若f（a）＞2，
即a+
1
a＞2，显然a＞0
则原不等式可化为a2-2a+1=（a-1）2＞0
解得a＞0且a≠1
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，熟练掌握函数奇偶性与单调性的定义是解答的关键．
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