四面体ABCD,面ABC与面BCD成60度,顶点A在面BCD上射影H是三角形BCD垂心,G是三角形ABC重心,AH=4,
1个回答
连结AG,并延长交BC于M,连结DM,
则AM是△ABC的中线,
∵AB=AC,
∴AM⊥BC,（等腰△三线合一）,
连结HM,则HM是AM在平面BCD上的射影.
∴根据三垂线逆定理,BC⊥HM,
∵H是△BCD的垂心,
∴GM在BC边上的高线DH上,即DM是BC边上的高,
∴DM是BC的垂直平分线,DB=DC,
∴〈AMD是二面角A-BC-D的平面角,
〈AMD=60°,
AH/AM=sin60°,
AM=8√3/3,
MH=AM/2=4√3/3,
在△AMH上作GN//AH,交MH于N,
根据三角形平行比例线段性质,
GN/AH=MG/MA,
根据三角形重心的性质,MG/AM=1/3,
∴GN/AH=1/3,
GN=4/3,
同理,MN/MH=1/3,
MN=（4√3/3）/3=4√3/9,
NH=MH-MN=4√3/3-4√3/9=8√3/9,
在RT△HNH中根据勾股定理,
GH^2=GN^2+NH^2,
∴GH=10√3/9.
相关问题
