已知函数f（x）=a-22x+1（a∈R）为奇函数．
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解题思路：首先，根据函数f（x）=a-
2
2
x
+1
（a∈R）为奇函数．f（0）=0，得到a的取值，
（1）首先，求导数，然后，判断导数值的情况，从而确定单调区间；
（2）根据（1）的结论，然后，结合奇偶性，转化成恒成立问题，然后求解；
（3）构造函数h（x）=xf（x），然后，结合函数的奇偶性进行求解即可．
∵函数f（x）=a-
2
2x+1（a∈R）为奇函数，
∴f（0）=0，∴a=1．
∴f（x）=1-
2
2x+1，
（1）∵f'（x）=
2×2xln2
(2x+1)2＞0，
∴函数在R上为增函数；
（2）∵f（k-2）+f（2x+1+4x）＞0，
∴f（2x+1+4x）＞-f（k-2）=f（2-k），
∴2x+1+4x＞2-k，∴k＞2-（2x+1+4x），
∵f（k-2）+f（2x+1+4x）＞0对于任意x∈R恒成立，
∴只需k＞[2-（2x+1+4x）]max，
设函数g（x）=2-（2x+1+4x）=-（2x）2-2×2x+2，
令2x=t，（t＞0），
∴g（t）=-t2-2t+2=-（t+1）2+3，
∴g（t）＜3，∴k＞3，
∴实数k的取值范围（3，+∞）；
（3）设函数h（x）=xf（x）
∵函数f（x）为奇函数，
∴h（-x）=-xf（-x）=xf（x）=h（x），
∴函数h（x）=xf（x）为偶函数，
当x=0时，h（0）=0．
当x＞0时，
∵2x+1＞2，
∴0＜
2
2x+1＜1，
∴1-
2
2x+1＞0，
∴xf（x）＞0，
∴当x≥0时，xf（x）≥0，
由函数图象的对称性，知函数xf（x）≥0．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题综合考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题，难度中等，注意函数为奇函数的重要性质．
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