已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)和两点A（4，1），B（3，2），且椭圆右焦点与上顶点的连线平行于AB．
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解题思路：（Ⅰ）利用椭圆右焦点与上顶点的连线平行于AB，可得b=c，进而a2=b2+c2=2b2，利用椭圆经过A点，可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）利用两点式求线段AB所在直线方程与椭圆方程联立，根据椭圆C与线段AB有公共点，可得方程在x∈[3，4]上有解，构建函数g（x），转化为只需a2在函数g（x）的值域之内，从而可得结论．
（Ⅰ）kAB＝
2−1
3−4＝−1，因为椭圆右焦点与上顶点的连线平行于AB，所以−
b
c＝−1…（2分）
∴b=c，∴a2=b2+c2=2b2，故椭圆C可化简为x2+2y2=a2…（4分）
又椭圆经过A点，则a2=42+2=18，故椭圆C的方程为
x2
18+
y2
9＝1…（6分）
（Ⅱ）∵A（4，1），B（3，2），
∴[y−2/1−2＝
x−3
4−3]
∴线段AB所在直线方程为y=-x+5（3≤x≤4）…（7分）
由（Ⅰ）知椭圆C为x2+2y2=a2，
联立
x2+2y2＝a2
y＝−x+5，消去y并整理得：3x2-20x+50-a2=0…（&）
由于椭圆C与线段AB有公共点，即方程（&）在x∈[3，4]上有解
（&）式可变形为a2=3x2-20x+50，令g（x）=3x2-20x+50，x∈[3，4]
则只需a2在函数g（x）的值域之内，∴g(x)∈[g(
10
3)，g(4)]＝[
50
3，18]，
故a2∈[
50
3，18]，a∈[
5
6
3，3
2]．…（12分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查函数的值域，联立方程，转化为方程在x∈[3，4]上有解是关键．
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