1.已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x²-4,
2.设 x1.x2是关于x的一元二次方程 x²-2(m-1)x+m+1=0的两个实根,又y=x1²+x2²,求y=f(m)的解析式于与定义域
3.定义在非零实数集上的函数f(X)满足f(Xy)=f(x)+f(y),且函数式区间(0,正无穷)上的增函数.1.求f(1).f(-1)的值 2.求证f(-x)=f(x)3.解不等式f(2)+f【x-1/2】小于等于0
1.设f(x)=ax2+bx+c,
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c,f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c,
∴f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c,
∵f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,
∴2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
∴a=1,b=-2,c=-1,
则f(x)=x2-2x-1.
故答案为:f(x)=x2-2x-1.
2.用韦达定理来算
X1+X2=-b/a X1*X2=c/a
所以 y=X1²+X2²=(X1+X2)²-2X1*X2=4(m-1)²-2(m+1)=4m²-10m+2
所以f(m)=4m²-10m+2
要考虑存在两根x1、x2.所以定义域m小于等于0或m大于等于3.可以相等的
3.(1)令x=y=1,
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(1)+f(1),
解得f(1)=0;
令x=y=-1,
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(-1)+f(-1),
解得f(-1)=0.
(2)证明偶函数:
令y=-1,
带入f(xy)=f(x)+f(y)
得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),
即f(-x)=f(x).
(3)解不等式f(2)+f(x-1/2)≤0
因为f(x)是区间(0,+∞)的增函数,且f(-x)=f(x)符合偶函数关于y轴对称
f(2)+f(x-½)=f[2*(x-1/2)]=f(2x-1)≤0=f(1) (第一问解出来f(1)=0了,用f(-1)=0也行答案都一样)
所以:|2x-1|
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