已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．
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解题思路：（Ⅰ）当a=0时，可得函数f（x）的解析式，求导数，令导数为0，解出x的值，利用导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极小值；
（Ⅱ）求导函数，由于函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，转化为f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，利用导数求g（x）=xlnx+x的最小值，即可求实数a的取值范围．
（Ⅰ）定义域（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x＝
1
e．
当x∈(0，
1
e)时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈(
1
e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
所以函数f（x）的极小值是f(
1
e)＝−
1
e．
（Ⅱ）由已知得f′(x)＝lnx+
x−a
x．
因为函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
所以f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立．
由f'（x）≥0得lnx+
x−a
x≥0，即xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立．
设g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）min．
因为g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得x＝
1
e2．
当x∈(0，
1
e2)时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈(
1
e2，+∞)时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是g(
1
e2)＝−
1
e2．
故函数f（x）在（0，+∞）是增函数时，实数a的取值范围是(−∞，−
1
e2]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．
