已知等轴双曲线C:x^2-y^2=a^2（a>0)的右焦点F,O为坐标原点.过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P,OP长
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解；(1)由双曲线定义得渐近线方程Y=(b/a)X
因为 为等轴双曲线 所以b=a
所以渐近线方程为Y=X
设F（c,0） 据点F（c,0）到线X-Y=0的距离公式得d1=c/(根号2）
据题意,画图可得 角OPF=90度 OF=c OP=根号2
所以勾股定理可得 OP平方+PF平方=OF平方
即2+c平方/2 =c平方 所以c平方=4 因为c平方=a平方+b平方=2a平方
所以a平方=2 所以此等轴双曲线表达式为； X平方--Y平方=2
（2）由(1）得F(2,0) 设过F点的线上一点为E（x,y）
因为过点F且方向向量为d=（1,2）, 所以E（3,2）
所以过点F且方向向量为d=（1,2）的直线l为 y=2x--4
X平方--Y平方=2 .[1] y=2x--4.[2]
将直线l[2]与等轴双曲线方程[1]联立得 设A（x1,y1) B(x2,y2)
3（x平方）--16x+18=0 x1=（8+根号10）/3 x2=（8--根号10）/3
3（y平方）--8x--8=0 y1=（4+2根号10）/3 y2=（4--2根号10）/3
所以OA =根号【（130+32根号10）/9】 OB=根号【（130--32根号10）/9】
求OA和OB的模长之积 ( OA)乘以（OB)=（2根号1665）/3
以上为本人见解,如有错误之处,很乐意接受你的指正,可能会有点复杂,但如有较简便的方法,希望大家教一教,
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