解题思路：（1）根据抛物线的解析式，易求得A、B的坐标，利用勾股定理即可求得AB的长．
（2）首先根据A、B的坐标，求出直线AB的解析式，设出点P的横坐标，利用直线AB的解析式，即可表示出P点的纵坐标，由此可得到MP、OM、PN的长，从而证得OM=PN，而∠OPC=90°，则∠OPM、∠PCN同为∠CPN的余角，再加上一组直角，即可由AAS判定△OPM≌△PCN，由此得证．
（3）由（2）的全等三角形知PM=CN，由此可求得BC的表达式，OB的长易求得，根据三角形的面积公式即可得到S、m的函数关系式．（需注意的是，自变量的取值范围会影响到PM的表达式，因此要分类讨论）
（4）此题应分三种情况讨论：
①P为等腰三角形的顶角顶点，由于∠PBN=45°，若PC=PB，那么CP⊥PB，显然不符合题意；
②C为等腰三角形的顶角顶点，此时PC=BC，由于△OAB是等腰直角三角形，因此P、A重合时，△PCB也是等腰直角三角形，故A点符合点P的要求；
③B为等腰三角形的顶角顶点，此时PB=BC；当C点在第一象限时，显然不存在这样的P点，故此时C点必在第四象限，首先设出点P的坐标，表示出AP、PB、BC的长，根据所得等量关系，即可得到点P的坐标．
（1）抛物线y=-2x2+x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=-12，x=1；故A（0，1），B（1，0）；∴AB=2．（2分）（2）∵A（0，1），B（1，0），∴直线AB：y=-x+1；设P（a，-a+1），则有：PM=a，OM=1-a，PN=MN-PM=1-a，故OM...
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题主要考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的构成条件等知识．（4）题中，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．
