已知函数f（x）=[2x+1/x+1]．

已知函数f（x）=[2x+1/x+1]．

（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．

（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．

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2个回答

解题思路：（1）根据增函数的定义进行判断和证明；

（2）利用（1）的结论，利用函数的单调性．

任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，

f（x1）-f（x2）=

2x1+1

x1+1−

2x2+1

x2+1=

x1−x2

(x1+1)(x2+1)，

∵x1-x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，

所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

（2）由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数，

∴最大值f（4）=[2×4+1/4+1＝

9

5]，最小值f（1）=[2×1+1/1+1＝

3

2]．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性和最大（小）值，属于比较基础题．

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