解题思路：（1）根据增函数的定义进行判断和证明；
（2）利用（1）的结论，利用函数的单调性．
任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=
2x1+1
x1+1−
2x2+1
x2+1=
x1−x2
(x1+1)(x2+1)，
∵x1-x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数，
∴最大值f（4）=[2×4+1/4+1＝
9
5]，最小值f（1）=[2×1+1/1+1＝
3
2]．
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性和最大（小）值，属于比较基础题．
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