如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点
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【方法一(欧式几何传统法）】：

（1）方法一：∵平面ADD1A1//平面BFC1B1,平面HBFD1与平面ADD1A1,平面BFC1B1分别交于D1H,BF ∴D1H//BF

方法二：用平面几何知识证明HBFD1为平行四边形.（略）

(2)方法一：取BD的中点Q,则EQ=1/2CD=1/2C1D1=D1G.EQ//CD//D1G.∴四边形QEGD1为平行四边形 ∴D1Q//GE,∴EG//平面BB1D1D

方法二：取B1C1的中点M,连接GM,GE,则GM//D1B,ME//BB1,故平面BB1D1D//平面EMG

∴GE//平面BB1D1D

（3)容易证明HD1//BF,且D1B1//DB,∴平面BDF//平面B1D1H.

【方法二（向量法）】：

（1）以点D为原点建立空间直角坐标系,设正方体边长为1,则B(1,1,0),F(0,1,1/2)

H(1,0,1/2)D1(0,0,1),向量HD1=(-1,0,1/2),向量BF=(-1,0,1/2)

∴向量HD1=向量BF,故BF//HD1

(2)E(1/2,1,0),G(0,1/2,1)EG=(-1/2,-1/2,1)DB=(1,1,0),DD1=(0,0,1),

设平面BB1D1D的法向量为n=(x0,y0,z0)

由n*DB=0且n*DD1=0得x0+y0=0,且z0=0,令y0=1,则x0=-1∴n=(-1,1,0)

∴n*EG=(-1,1,0)(-1/2,-1/2,1)=1/2-1/2+0=0

故EG//平面BB1D1D

(3)设平面BDF的法向量为n1=(x1,y1,z1),由DB*n1=0,且BF*n2=0,即x1+y1=0且-x1+(1/2)z1=0

令x1=1,则y1=-1,z1=2,故n1=(1,-1,2).

H(1,0,1/2)D1H=(1,0,-1/2),B1(1,1,1)D1B1=(1,1,0)设平面B1D1H的法向量为n2=(x2,y2,z2),由

D1B1*n2=0,且D1H*n2=0,即x2+y2=0,且x2-1/2z2=0,令z2=2,x2=1,y2=-1,故n2=(1,-1,2)

∴n1//n2

故平面BDF//平面B1D1H

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