解题思路：（1）由辅助角公式，我们可将函数解析式化为正弦型函数的形式，结合函数f（x）的周期为π，对一切x∈R，都有f（x）≤f(π12)＝4，我们可以构造a，b，ω的方程，求出a，b，ω的后，即可得到函数f（x）的表达式；（2）根据g（x）=f（π6−x），求出函数g（x）的解析式，进而根据正弦型函数的单调性，确定函数g（x）的单调增区间；（3）根据正弦型函数的平移法则，我们可以求出函数y=f（x）-3的图象按向量c=（m，n）平移后得到的图象，由其为奇函数，故原点为其对称中心，根据正弦函数的对称性，易得到实数m、n的值．
（1）∵f(x)＝asinωx+bcosωx＝
a2+b2sin(ωx+φ)，又周期T＝
2π
ω＝π∴ω=2
∵对一切x∈R，都有f（x）≤f(
π
12)＝4
∴
a2+b2＝4
asin
π
6+bcos
π
6＝4解得：
a＝2
b＝2
3
∴f（x）的解析式为f(x)＝2sin2x+2
3cos2x＝4sin(2x+
π
3)
（2）∵g(x)＝f(
π
6−x)＝4sin[2(
π
6−x)+
π
3]＝4sin(−2x+
2π
3)＝−4sin(2x−
2π
3)（3）
∴g（x）的增区间是函数y=sin(2x−
2π
3)的减区间
∴由2kπ+
π
2≤2x−
2π
3≤2kπ+
3π
2得g（x）的增区间为[kπ+
7π
12，kπ+
13π
12]（k∈Z）（等价于[kπ−
5π
12，kπ+
π
12]．
（3）m＝
π
6，n＝3
点评：
本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
考点点评： 本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，正弦型函数的单调性，正弦型函数的图象变换，其中（1）的关键是根据已知构造a，b，ω的方程，（2）的关键是求出函数g（x）的解析式，（3）的关键是利用函数的对称性，得到原点为其对称中心．
