已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1处有极值10．
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解题思路：（1）求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值．（2）令导函数大于0求出f（x）的单调递增区间；令导函数小于0求出f（x）的单调递减区间．（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的单调性，求出f（x）在[0，4]上的最值．
（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，
得a=4，或a=-3
∵a＞0，∴a=4，
b=-11（经检验符合）
（2）f（x）=x3+4x2-11x+16，f'（x）=3x2+8x-11，
由f′（x）=0得x1＝−
11
3，x2＝1
所以令f′（x）＞0得x＜−
11
3或x＞ 1；令f′(x)＜0得−
11
3＜x＜1
所以f（x）在(−∞，−
11
3)，(1，+∞)上单调递增，(−
11
3，1)上单调递减．
（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，
又因为f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，
所以f（x）的最大值为100，最小值为1020．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数在极值点处的值为0；导函数大于0对应函数的得到递增区间，导函数小于0对应函数的递减区间．
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