已知函数f（x）=ax2+blnx（x＞0）在x=1处有极值[1/2]．
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解题思路：（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值[1/2]，得到f（1）=[1/2]，f′（1）=0得到a、b即可；
（2）找到函数的定义域，求出导函数，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．．
（Ⅰ）因为函数f（x）=ax2+blnx，
所以f′(x)＝2ax+
b
x．…（2分）
又函数f（x）在x=1处有极值[1/2]，
所以
f′(1)＝0
f(1)＝
1
2.即
2a+b＝0
a＝
1
2.…（4分）
可得a＝
1
2，b=-1． …（5分）
经检验，此时f'（x）在x=1的左右符号相异，所以a＝
1
2，b=-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)＝
1
2x2−lnx，其定义域是（0，+∞），
且f′(x)＝x−
1
x＝
(x+1)(x−1)
x．…（8分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - 0 +
f（x） 单调递减 极小值 单调递增所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．…（13分）
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用．
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